Wko

Hvordan tegne en rasjonell funksjon

En rasjonell funksjon er en ligning som tar formen y = N (x) / D (x) hvor n og D er polynomer. Forsøk på å skissere en nøyaktig graf av en hånd kan være en omfattende gjennomgang av mange av de viktigste high school matematiske emner fra grunnleggende algebra til differensialregning. Betrakt følgende eksempel: y = (2 x 2 - 6 x + 5) / (4 x + 2).

Trinn

Hvordan tegne en rasjonell funksjon. Finn den horisontale asymptoten.
Hvordan tegne en rasjonell funksjon. Finn den horisontale asymptoten.
  1. 1
    Finn den y skjæringspunktet. Bare sette x = 0. Alt, men de stadige vilkår forsvinne, forlater y = 5/2. Å uttrykke dette som et koordinatpar, (0, 5/2) er et punkt på grafen. graf som peker.
  2. 2
    Finn den horisontale asymptoten. nevneren inn i telleren for å bestemme oppførselen av y for store Absoloute verdier av x. I dette eksemplet viser delingen at y = (1/2) x - (7/4) + 17 / (8 x + 4). For store positive eller negative verdier av x, 17 / (8 x + 4) nærmer seg null, og grafen tilnærmet linjen y = (1/2) x - (7/4). Ved hjelp av en stiplet eller lett trukket linje, tegne denne linjen.
    • Dersom den av telleren er mindre enn graden av nevneren, er det ingen divisjon å gjøre, og den asymptote er y = 0.
    • Dersom grader (n) = ° (D), er asymptoten en vannrett linje ved forholdet mellom de ledende koeffisienter.
    • Dersom grader (n) = ° (D) + 1, er asymptoten en linje hvor bakkene er forholdet mellom de ledende koeffisienter.
    • Dersom grader (N)> ° (D) + 1, og for store verdier av | x |, y raskt går i positiv eller negativ uendelighet som kvadratisk, kubisk eller høyere grad polynom. I dette tilfellet er det sannsynligvis ikke verdt å nøyaktig graf kvotienten av divisjonen.
  3. 3
    Finn nullpunktene. En rasjonell funksjon har en null når det teller er null, så sett N (x) = 0. I eksemplet er to x 2-6 x + 5 = 0. Den diskriminant av det kvadratiske er b 2-4 ac = 2 til 4 juni * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Siden diskriminant er negativ, N (X), og følgelig f (x), har ingen reelle røtter. Grafen aldri krysser x-aksen. Hvis noen nuller ble funnet, legger disse punktene til grafen.
  4. 4
    Finn de vertikale asymptoter. En vertikal asymptote oppstår når nevneren er null. Setting 4 x + 2 = 0 gir den vertikale linjen x = -1 / 2. Graf hver vertikal asymptote med et lys eller stiplet linje. Ved en viss verdi av x lager både N (x) = 0 og D (x) = 0, kan det eller ikke kan være en vertikal asymptote der. Dette er sjelden, men se tipsene for hvordan man skal håndtere det hvis det skjer.
  5. 5
    Se på resten av delingen i trinn 2.. Når er det positive, negative eller null? I eksemplet, er telleren i resten 17 som alltid er positiv. Nevneren, 4 x + 2, er positiv til høyre for den vertikale asymptoten og negative mot venstre. Dette betyr at grafen nærmer seg den lineære asymptoten fra den ovenfor for store positive verdier av x og nedenfra for store negative verdier av x. Siden 17 / (8 x + 4) kan aldri bli null, denne grafen aldri skjærer linjen y = (1/2) x - (7/4). Ikke legge noe til grafen akkurat nå, men merk disse konklusjonene for senere.
  6. 6
    Finn den lokale Extrema. En lokal ytterpunkt kan oppstå når N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. I eksemplet, N '(x) = x 4 - 6 og D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (x 4 - 6) (4 x + 2) - (2 x 2-6 x + 5) * 4 = 0. Utvide, kombinere vilkår, og dividere med 4 blader x 2 + x - 4 = 0. Den kvadratiske formelen viser røtter nær x = 3/2 og x = -5 / 2. (Disse skiller seg ved ca 0.06 fra de nøyaktige verdiene, men vår grafen er ikke til å være presise nok til å bekymre seg for at detaljnivået. Velge en anstendig rasjonell tilnærming gjør det neste skrittet lettere.)
  7. 7
    Finne y-verdiene for hver av de lokale ytterpunkt. Plugg x-verdier fra forrige trinn tilbake til den opprinnelige rasjonell funksjon for å finne de tilsvarende y-verdiene. I eksemplet er f (3/2) = 1/16 og f (-5 / 2) = -65 / 16. Legg disse punktene, (3/2, 1/16) og (-5 / 2, -65 / 16), til grafen. Siden vi rundet i forrige trinn, disse are't nøyaktig minima og maksima, men er sannsynligvis nær. (Vi vet (3/2, 1/16) er svært nær den lokale minimum. Fra trinn 3, vet vi at y er alltid positiv når x> -1 / 2 og vi fant en verdi så liten som 1/16, slik at i det minste i dette tilfelle er feilen sannsynligvis mindre enn tykkelsen av linjen.)
  8. 8
    Koble prikkene og jevnt utvide grafen fra kjente punkter til asymptotene ta vare å nærme seg dem fra riktig retning. Pass på å ikke krysse x-aksen unntatt på de punktene som allerede er funnet i trinn tre. Ikke krysse den horisontale eller lineær asymptote unntatt på de punktene som allerede er funnet i trinn 5. Ikke endre fra skråner oppover til fallende unntatt på Extrema funnet i forrige trinn.

Tips

  • Hvis du følger trinnene i orden er det vanligvis ikke nødvendig å bruke andre avledede tester eller lignende potensielt kompliserte metoder for å avgjøre om de kritiske verdiene er lokale maksima, lokale minima, eller ingen av delene. Prøv å bruke informasjon fra tidligere trinn og litt logikk først.
  • Noen av disse fremgangsmåtene kan involvere å løse en høy grad polynom. Hvis du ikke kan finne eksakte løsninger gjennom faktorisering, formler eller andre midler, deretter beregne løsninger ved hjelp av numeriske teknikker som Newtons metode.
  • Hvis du prøver å gjøre dette med bare Precalculus metoder, kan du erstatte trinnene om å finne den lokale Extrema ved å beregne flere andre (x, y) beordret parene mellom hvert par av asymptoter. Alternativt, hvis du ikke bryr deg hvorfor det fungerer, er det ingen grunn til at en Precalculus student ikke kan ta den deriverte av et polynom og løse N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
  • I sjeldne tilfeller kan telleren og nevneren har en felles nonconstant faktor. Hvis du følger trinnene, vil dette vise seg som et null og en vertikal asymptote på samme sted. Det er umulig, og hva som faktisk skjer er ett av følgende:
    • Den null i N (x) har høyere multiplisitet enn null i D (x). Grafen til f (x) nærmer seg null på dette punktet, men er ikke definert der. Indikere dette med en åpen sirkel rundt punktet.
    • Den null i N (x) og den null i D (x) har lik multiplisitet. Grafen tilnærming noen ikke-null-punkt for denne verdi av x, men det er udefinert. Igjen indikerer dette med en åpen sirkel.
    • Den null i N (x) har lavere multiplisitet enn null i D (x). Det er en vertikal asymptote her.